9.5. Algorytmy

W tym scenariuszu spróbujemy pokazać w Minecrafcie Pi algorytm symulujący ruchy Browna oraz algorytm stosujący metodę Monte Carlo do wyliczenia przybliżonej wartości liczby Pi.

9.5.1. Ruchy Browna

Za pomocą wybranego edytora utwórz pusty plik, umieść w nim podany niżej kod i zapisz w katalogu mcpi-sim pod nazwą mcpi-rbrowna.py:

Kod nr

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-

import os
import numpy as np  # import biblioteki do obliczeń naukowych
import matplotlib.pyplot as plt  # import biblioteki do tworzenia wykresow
from random import randint
from time import sleep
import mcpi.minecraft as minecraft  # import modułu minecraft
import mcpi.block as block  # import modułu block

os.environ["USERNAME"] = "Steve"  # wpisz dowolną nazwę użytkownika
os.environ["COMPUTERNAME"] = "mykomp"  # wpisz dowolną nazwę komputera

mc = minecraft.Minecraft.create("192.168.1.10")  # połączenie z serwerem


def plac(x, y, z, roz=10, gracz=False):
    """
    Funkcja tworzy podłoże i wypełnia sześcienny obszar od podanej pozycji,
    opcjonalnie umieszcza gracza w środku.
    Parametry: x, y, z - współrzędne pozycji początkowej,
    roz - rozmiar wypełnianej przestrzeni,
    gracz - czy umieścić gracza w środku
    Wymaga: globalnych obiektów mc i block.
    """

    podloga = block.SAND
    wypelniacz = block.AIR

    # podloga i czyszczenie
    mc.setBlocks(x, y - 1, z, x + roz, y - 1, z + roz, podloga)
    mc.setBlocks(x, y, z, x + roz, y + roz, z + roz, wypelniacz)
    # umieść gracza w środku
    if gracz:
        mc.player.setPos(x + roz / 2, y + roz / 2, z + roz / 2)


def wykres(x, y, tytul="Wykres funkcji", *extra):
    """
    Funkcja wizualizuje wykres funkcji, której argumenty zawiera lista x
    a wartości lista y i ew. dodatkowe listy w parametrze *extra
    """
    if len(extra):
        plt.plot(x, y, extra[0], extra[1])  # dwa wykresy na raz
    else:
        plt.plot(x, y, "o:", color="blue", linewidth="3", alpha=0.8)
    plt.title(tytul)
    plt.grid(True)
    plt.show()


def rysuj(x, y, z, blok=block.IRON_BLOCK):
    """
    Funkcja wizualizuje wykres funkcji, umieszczając bloki w pionie/poziomie
    w punktach wyznaczonych przez pary elementów list x, y lub x, z
    """
    czylista = True if len(y) > 1 else False
    for i in range(len(x)):
        if czylista:
            print(x[i], y[i])
            mc.setBlock(x[i], y[i], z[0], blok)
        else:
            print(x[i], z[i])
            mc.setBlock(x[i], y[0], z[i], blok)


def ruchyBrowna():

    n = int(raw_input("Ile ruchów? "))
    r = int(raw_input("Krok przesunięcia? "))

    x = y = 0
    lx = [0]  # lista odciętych
    ly = [0]  # lista rzędnych

    for i in range(0, n):
        # losujemy kąt i zamieniamy na radiany
        rad = float(randint(0, 360)) * np.pi / 180
        x = x + r * np.cos(rad)  # wylicz współrzędną x
        y = y + r * np.sin(rad)  # wylicz współrzędną y
        x = int(round(x, 2))  # zaokrągl
        y = int(round(y, 2))  # zaokrągl
        print(x, y)
        lx.append(x)
        ly.append(y)

    # oblicz wektor końcowego przesunięcia
    s = np.fabs(np.sqrt(x**2 + y**2))
    print "Wektor przesunięcia: {:.2f}".format(s)

    wykres(lx, ly, "Ruchy Browna")
    rysuj(lx, [1], ly, block.WOOL)


def main():
    mc.postToChat("Ruchy Browna")  # wysłanie komunikatu do mc
    plac(-80, -20, -80, 160)
    plac(-80, 0, -80, 160)
    ruchyBrowna()
    return 0


if __name__ == '__main__':
    main()

Większość kodu powinna być już zrozumiała. Importy bibliotek, nawiązywanie połączenia z serwerem MC Pi, funkcje plac(), wykres() i rysuj() omówione zostały w poprzednim scenariuszu Funkcje w mcpi.

W funkcji ruchyBrowna() na początku pobieramy od użytkownika ilość ruchów cząsteczki do wygenerowania oraz ich długość, co ma znaczenie podczas ich odwzorowywania w świecie MC Pi. Następnie w pętli:

losujemy kąt wskazujący kierunek ruchu cząsteczki,
wyliczamy współrzędne kolejnego punktu korzystając z funkcji cos() i sin() (np. x = x + r * np.cos(rad)),
zaokrąglamy wyniki do 2 miejsc po przecinku (np. x = int(round(x, 2))) i drukujemy,
na koniec dodajemy obliczone współrzędne do list odciętych i rzędnych (np. lx.append(x)).

Po wyjściu z pętli obliczamy długość wektora przesunięcia, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, i drukujemy wynik z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku (wyrażenie formatujące: {:.2f}).

Po tych operacjach pozostaje wykreślenie ruchu cząsteczki w matplotlib i wyznaczenie go w Minecrafcie.

Wskazówka

Przed uruchomieniem wizualizacji warto ustawić Steve’a w tryb lotu (dwukrotne naciśnięcie spacji).

9.5.1.1. (Nie)powtarzalność

Kilkukrotne uruchomienie dotychczasowego kodu pokazuje, że za każdym razem generowany jest inny tor ruchu cząsteczki. Z jednej strony to dobrze, bo to potwierdza przypadkowość symulowanych ruchów, z drugiej strony przydatna byłaby możliwość zapamiętania wyjątkowo malowniczych sekwencji.

Zmienimy więc funkcję ruchyBrowna() tak, aby zapisywała i ewentualnie odczytywała wygenerowany i zapisany ruch cząsteczki. Musimy też dodać dwie funkcje narzędziowe zapisujące i czytające dane.

Kod nr

def ruchyBrowna(dane=[]):

    if len(dane):
        lx, ly = dane  # rozpakowanie listy
        x = lx[-1]  # ostatni element lx
        y = ly[-1]  # ostatni element ly
    else:
        n = int(raw_input("Ile ruchów? "))
        r = int(raw_input("Krok przesunięcia? "))

        x = y = 0
        lx = [0]  # lista odciętych
        ly = [0]  # lista rzędnych

        for i in range(0, n):
            # losujemy kąt i zamieniamy na radiany
            rad = float(randint(0, 360)) * np.pi / 180
            x = x + r * np.cos(rad)  # wylicz współrzędną x
            y = y + r * np.sin(rad)  # wylicz współrzędną y
            x = int(round(x, 2))  # zaokrągl
            y = int(round(y, 2))  # zaokrągl
            print(x, y)
            lx.append(x)
            ly.append(y)

    # oblicz wektor końcowego przesunięcia
    s = np.fabs(np.sqrt(x**2 + y**2))
    print "Wektor przesunięcia: {:.2f}".format(s)

    wykres(lx, ly, "Ruchy Browna")
    rysuj(lx, [1], ly, block.WOOL)
    if not len(dane):
        zapisz_dane((lx, ly))


def zapisz_dane(dane):
    """Funkcja zapisuje dane w formacie json w pliku"""
    import json
    plik = open('rbrowna.log', 'w')
    json.dump(dane, plik)
    plik.close()


def czytaj_dane():
    """Funkcja odczytuje dane w formacie json z pliku"""
    import json
    dane = []
    nazwapliku = raw_input("Podaj nazwę pliku z danymi lub naciśnij ENTER: ")
    if os.path.isfile(nazwapliku):
        with open(nazwapliku, "r") as plik:
            dane = json.load(plik)
    else:
        print "Podany plik nie istnieje!"
    return dane


def main():
    mc.postToChat("Ruchy Browna")  # wysłanie komunikatu do mc
    plac(-80, -20, -80, 160)
    plac(-80, 0, -80, 160)
    ruchyBrowna(czytaj_dane())
    return 0

Z powyższego kodu wynika, że jeżeli funkcja ruchyBrowna() otrzyma niepustą listę danych (if len(dane):), wczyta z niej dane współrzędnych x i y. W przeciwnym wypadku generowane będą nowe, które zostaną zapisane: zapisz_dane((lx, ly)).

Funkcja zapisz_dane(), pobiera tuplę zawierającą listę współrzędnych x i y, otwiera plik o podanej nazwie do zapisu (open('rbrowna.log', 'w')) i zapisuje w nim dane w formacie json.

Funkcja czytaj_dane() prosi o podanie nazwy pliku z danymi, jeśli istnieje, zwraca dane zapisane w formacie json, które w funkcji ruchyBrowna() rozpakowywane są jako listy wartości x i y: lx, ly = dane. Jeżeli podany plik z danymi nie istnieje, zwracana jest pusta lista, a w funkcji ruchyBrowna() generowane są nowe dane.

W funkcji głównej zmieniamy wywołanie funkcji na ruchyBrowna(czytaj_dane()) i testujemy zmieniony kod. Za pierwszym razem wciskamy Enter, generujemy i zapisujemy dane, za drugim razem podajemy nazwę pliku rbrowna.log.

9.5.1.2. Ruch cząsteczki

Do tej pory ruch cząsteczki wizualizowane był jako pojedyncze punkty. Możemy jednak pokazać pokonaną trasę liniowo, używając omawianej już biblioteki minecraftstaff. Pod funkcją rysuj() umieszczamy następującą funkcję:

Kod nr

def rysuj_linie(x, y, z, blok=block.IRON_BLOCK):
    """
    Funkcja wizualizuje wykres funkcji, umieszczając bloki w pionie/poziomie
    w punktach wyznaczonych przez pary elementów list x, y lub x, z
    przy użyciu metody drawLine()
    """
    import local.minecraftstuff as mcstuff
    mcfig = mcstuff.MinecraftDrawing(mc)
    czylista = True if len(y) > 1 else False
    for i in range(len(x) - 1):
        x1 = int(x[i])
        x2 = int(x[i + 1])
        if czylista:
            y1 = int(y[i])
            y2 = int(y[i + 1])
            mc.setBlock(x2, y2, z[0], block.GRASS)
            mc.setBlock(x1, y1, z[0], block.GRASS)
            mcfig.drawLine(x1, y1, z[0], x2, y2, z[0], blok)
            mc.setBlock(x2, y2, z[0], block.GRASS)
            mc.setBlock(x1, y1, z[0], block.GRASS)
            print (x1, y1, z[0], x2, y2, z[0])
        else:
            z1 = int(z[i])
            z2 = int(z[i + 1])
            mc.setBlock(x1, y[0], z1, block.GRASS)
            mc.setBlock(x2, y[0], z2, block.GRASS)
            mcfig.drawLine(x1, y[0], z1, x2, y[0], z2, blok)
            mc.setBlock(x1, y[0], z1, block.GRASS)
            mc.setBlock(x2, y[0], z2, block.GRASS)
            print (x1, y[0], z1, x2, y[0], z2)
        sleep(1)  # przerwa na reklamę :-)
    mc.setBlock(0, 1, 0, block.OBSIDIAN)
    if czylista:
        mc.setBlock(x2, y2, z[0], block.OBSIDIAN)
    else:
        mc.setBlock(x2, y[0], z2, block.OBSIDIAN)

Jak widać, jest to zmodyfikowana funkcja, której użyliśmy po raz pierwszy w scenariuszu Funkcje. Zmiany dotyczą dodatkowych instrukcji typu mc.setBlock(x2, y2, z[0], block.GRASS), których zadaniem jest zaznaczenie innymi blokami wylosowanych punktów reprezentujących ruch cząsteczki. Instrukcja sleep(1) wstrzymując budowanie na 1 sekundę wywołuje wrażenie animacji i pozwala śledzić na bieżąco budowany tor. Końcowe instrukcje służą zaznaczeniu początku i końca ruchu blokami obsydianu.

Na koniec trzeba w funkcji ruchyBrowna() zmienić wywołanie rysuj() na rysuj_linie().

Eksperymenty

Uruchamiamy kod i eksperymentujemy. Dla 100 ruchów z krokiem przesunięcia 5 możemy uzyskać np. takie rezultaty:

Nic nie stoina przeszkodzie, żeby cząsteczka „ruszała się” w pionie nad i… pod wodą:

9.5.2. Liczba Pi

Mamy koło o promieniu r, którego środek umieszczamy w początku układu współrzędnych (0, 0). Na kole opisany jest kwadrat o boku 2r. Spróbujmy to zbudować w MC Pi. W pliku mcpi-lpi.py umieszczamy kod:

Kod nr

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

import os
import random
from time import sleep
import mcpi.minecraft as minecraft  # import modułu minecraft
import mcpi.block as block  # import modułu block
import local.minecraftstuff as mcstuff

os.environ["USERNAME"] = "Steve"  # nazwa użytkownika
os.environ["COMPUTERNAME"] = "mykomp"  # nazwa komputera

mc = minecraft.Minecraft.create("192.168.1.10")  # połączenie z serwerem


def plac(x, y, z, roz=10, gracz=False):
    """Funkcja wypełnia sześcienny obszar od podanej pozycji
    powietrzem i opcjonalnie umieszcza gracza w środku.
    Parametry: x, y, z - współrzędne pozycji początkowej,
    roz - rozmiar wypełnianej przestrzeni,
    gracz - czy umieścić gracza w środku
    Wymaga: globalnych obiektów mc i block.
    """

    podloga = block.STONE
    wypelniacz = block.AIR

    # kamienna podłoże
    mc.setBlocks(x, y - 1, z, x + roz, y - 1, z + roz, podloga)
    # czyszczenie
    mc.setBlocks(x, y, z, x + roz, y + roz, z + roz, wypelniacz)
    # umieść gracza w środku
    if gracz:
        mc.player.setPos(x + roz / 2, y + roz / 2, z + roz / 2)


def model(promien, x, y, z):
    """
    Fukcja buduje obrys kwadratu, którego środek to punkt x, y, z
    oraz koło wpisane w ten kwadrat
    """

    mcfig = mcstuff.MinecraftDrawing(mc)
    obrys = block.SANDSTONE
    wypelniacz = block.AIR

    mc.setBlocks(x - promien, y, z - promien, x +
                 promien, y, z + promien, obrys)
    mc.setBlocks(x - promien + 1, y, z - promien + 1, x +
                 promien - 1, y, z + promien - 1, wypelniacz)
    mcfig.drawHorizontalCircle(0, 0, 0, promien, block.GRASS)


def liczbaPi():
    r = float(raw_input("Podaj promień koła: "))
    model(r, 0, 0, 0)


def main():
    mc.postToChat("LiczbaPi")  # wysłanie komunikatu do mc
    plac(-50, 0, -50, 100)
    mc.player.setPos(20, 20, 0)
    liczbaPi()
    return 0


if __name__ == '__main__':
    main()

Funkcja model() działa podobnie do funkcji plac(), czyli na początku budujemy wokół środka układu współrzędnych płytę z bloku, który będzie zarysem kwadratu. Później budujemy drugą płytę o blok mniejszą z powietrza. Na koniec rysujemy koło.

9.5.2.1. Deszcz punktów

Teraz wyobraźmy sobie, że pada deszcz. Część kropel upada w obrębie kwadratu, ich ilość oznaczymy zmienną ileKw, a część również w obrębie koła – oznaczymy je zmienną ileKo. Ponieważ znamy promień koła, możemy ułożyć proporcję, zakładając, że stosunek pola koła do pola kwadratu równy będzie stosunkowi kropel w kole do kropel w kwadracie:

$\frac{\Pi * r^2}{(2 * r)^2} = \frac{ileKo}{ileKw}$

Z prostego przekształcenia tej równości możemy wyznaczyć liczbę Pi:

$\Pi = \frac{4 * ileKo}{ileKw}$

Uzupełniamy więc kod funkcji liczbaPi():

Kod nr

def liczbaPi():
    r = float(raw_input("Podaj promień koła: "))
    model(r, 0, 0, 0)

    # pobieramy ilość punktów w kwadracie
    ileKw = int(raw_input("Podaj ilość losowanych punktów: "))
    ileKo = 0  # ilość punktów w kole

    blok = block.SAND
    for i in range(ileKw):
        x = round(random.uniform(-r, r))
        y = round(random.uniform(-r, r))
        print x, y
        if abs(x)**2 + abs(y)**2 <= r**2:
            ileKo += 1
        # umieść blok w MC Pi
        mc.setBlock(x, 10, y, blok)

    mc.postToChat("W kole = " + str(ileKo) + " W Kwadracie = " + str(ileKw))
    pi = 4 * ileKo / float(ileKw)
    mc.postToChat("Pi w przyblizeniu: {:.10f}".format(pi))

Jak widać w nowym kodzie, na początku pobieramy od użytkownika ilość „kropel” deszczu, czyli punktów do wylosowania. Następnie w pętli losujemy ich współrzędne w przedziale <-r;r> w instrukcji typu: x = round(random.uniform(-r, r), 10). Funkcja uniform() zwraca wartości zmiennoprzecinkowe, które zaokrąglamy do 10 miejsca po przecinku.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa układamy warunek pozwalający sprawdzić, które punkty „wpadły” do koła: if abs(x)**2 + abs(y)**2 <= r**2: – i zliczamy je.

Instrukcja mc.setBlock(x, 10, y, blok) rysuje punkty w MC Pi za pomocą bloków piasku (SAND), dzięki czemu uzyskujemy efekt spadania.

Wyliczenie wartości Pi i wydrukowanie jej jest prostą formalnością.

Uruchomienie powyższego kodu dla promienia 30 i 1000 punktów dało następujący efekt:

Jak widać, niektóre punkty po zaokrągleniu ich współrzędnych w MC Pi nakładają się na siebie.

9.5.2.2. Podkolorowanie

Punkty wpadające do koła mogłyby wyglądać inaczej niż poza nim. Można by to osiągnąć przez ustawienie różnych typów bloków w pętli for, ale tylko blok piaskowy daje efekt spadania. Zrobimy więc inaczej. Zmieniamy funkcję liczbaPi():

Kod nr

def liczbaPi():
    r = float(raw_input("Podaj promień koła: "))
    model(r, 0, 0, 0)

    # pobieramy ilość punktów w kwadracie
    ileKw = int(raw_input("Podaj ilość losowanych punktów: "))
    ileKo = 0  # ilość punktów w kole
    wKwadrat = []  # pomocnicza lista punktów w kwadracie
    wKolo = []  # pomocnicza lista punktów w kole

    blok = block.SAND
    for i in range(ileKw):
        x = round(random.uniform(-r, r))
        y = round(random.uniform(-r, r))
        wKwadrat.append((x, y))
        print x, y
        if abs(x)**2 + abs(y)**2 <= r**2:
            ileKo += 1
            wKolo.append((x, y))

        mc.setBlock(x, 10, y, blok)

    sleep(5)
    for pkt in set(wKwadrat) - set(wKolo):
        x, y = pkt
        mc.setBlock(x, i, y, block.OBSIDIAN)
        for i in range(1, 3):
            print x, i, y
            if mc.getBlock(x, i, y) == 12:
                mc.setBlock(x, i, y, block.OBSIDIAN)

    mc.postToChat("W kole = " + str(ileKo) + " W Kwadracie = " + str(ileKw))
    pi = 4 * ileKo / float(ileKw)
    mc.postToChat("Pi w przyblizeniu: {:.10f}".format(pi))

Deklarujemy dwie pomocnicze listy, do których zapisujemy w pętli współrzędne punktów należących do kwadratu i koła, np. wKwadrat.append((x, y)). Następnie wstrzymujemy wykonanie kodu na 5 sekund, aby bloki piasku zdążyły opaść. W wyrażeniu set(wKwadrat) - set(wKolo) każda lista zostaje przekształcona na zbiór, a następnie zostaje obliczona ich różnica. W efekcie otrzymujemy współrzędne punktów należących do kwadratu, ale nie do koła. Ponieważ niektóre bloki piasku układają się jeden na drugim, wychwytujemy je w pętli wewnętrznej if mc.getBlock(x, i, y) == 12: – i zmieniamy na obsydian.

9.5.2.3. Trzeci wymiar

Siła MC Pi tkwi w 3 wymiarze. Możemy bez większych problemów go wykorzystać. Na początku warto zauważyć, że w algorytmie wyliczania wartości liczby Pi nic się nie zmieni. Stosunek pola koła do pola kwadratu zastępujemy bowiem stosunkiem objętości walca, którego podstawa ma promień r, do objętości sześcianu o boku 2r. Otrzymamy zatem:

$\frac{\Pi * r^2 * 2 * r}{(2 * r)^3} = \frac{ileKo}{ileKw}$

Po przekształceniu skończymy na takim samym jak wcześniej wzorze, czyli:

$\Pi = \frac{4 * ileKo}{ileKw}$

Aby to wykreślić, zmienimy funkcje model(), liczbaPi() i main(). Sugerujemy, żeby dotychczasowy plik zapisać pod inną nazwą, np. mcpi-lpi3D.py, i wprowadzić następujące zmiany:

Kod nr

def model(r, x, y, z, klatka=False):
    """
    Fukcja buduje obrys kwadratu, którego środek to punkt x, y, z
    oraz koło wpisane w ten kwadrat
    """

    mcfig = mcstuff.MinecraftDrawing(mc)
    obrys = block.OBSIDIAN
    wypelniacz = block.AIR

    mc.setBlocks(x - r - 10, y - r, z - r - 10, x +
                 r + 10, y + r, z + r + 10, wypelniacz)
    mcfig.drawLine(x + r, y + r, z + r, x - r, y + r, z + r, obrys)
    mcfig.drawLine(x - r, y + r, z + r, x - r, y + r, z - r, obrys)
    mcfig.drawLine(x - r, y + r, z - r, x + r, y + r, z - r, obrys)
    mcfig.drawLine(x + r, y + r, z - r, x + r, y + r, z + r, obrys)

    mcfig.drawLine(x + r, y - r, z + r, x - r, y - r, z + r, obrys)
    mcfig.drawLine(x - r, y - r, z + r, x - r, y - r, z - r, obrys)
    mcfig.drawLine(x - r, y - r, z - r, x + r, y - r, z - r, obrys)
    mcfig.drawLine(x + r, y - r, z - r, x + r, y - r, z + r, obrys)

    mcfig.drawLine(x + r, y + r, z + r, x + r, y - r, z + r, obrys)
    mcfig.drawLine(x - r, y + r, z + r, x - r, y - r, z + r, obrys)
    mcfig.drawLine(x - r, y + r, z - r, x - r, y - r, z - r, obrys)
    mcfig.drawLine(x + r, y + r, z - r, x + r, y - r, z - r, obrys)

    mc.player.setPos(x + r, y + r + 1, z + r)

    if klatka:
        mc.setBlocks(x - r, y - r, z - r, x + r, y + r, z + r, block.GLASS)
        mc.setBlocks(x - r + 1, y - r + 1, z - r + 1, x +
                     r - 1, y + r - 1, z + r - 1, wypelniacz)
        mc.player.setPos(0, 0, 0)

    for i in range(-r, r + 1, 5):
        mcfig.drawHorizontalCircle(0, i, 0, r, block.GRASS)


def liczbaPi(klatka=False):
    r = int(raw_input("Podaj promień koła: "))
    model(r, 0, 0, 0, klatka)

    # pobieramy ilość punktów w kwadracie
    ileKw = int(raw_input("Podaj ilość losowanych punktów: "))
    ileKo = 0  # ilość punktów w kole
    wKwadrat = []  # pomocnicza lista punktów w kwadracie
    wKolo = []  # pomocnicza lista punktów w kole

    for i in range(ileKw):
        blok = block.OBSIDIAN
        x = round(random.uniform(-r, r))
        y = round(random.uniform(-r, r))
        z = round(random.uniform(-r, r))
        wKwadrat.append((x, y, z))
        print x, y, z
        if abs(x)**2 + abs(z)**2 <= r**2:
            blok = block.DIAMOND_BLOCK
            ileKo += 1
            wKolo.append((x, y, z))

        mc.setBlock(x, y, z, blok)

    mc.postToChat("W kole = " + str(ileKo) + " W Kwadracie = " + str(ileKw))
    pi = 4 * ileKo / float(ileKw)
    mc.postToChat("Pi w przyblizeniu: {:.10f}".format(pi))
    mc.postToChat("Stan na kamieniu!")

    while True:
        poz = mc.player.getPos()
        x, y, z = poz
        if mc.getBlock(x, y - 1, z) == block.STONE.id:
            for pkt in wKolo:
                x, y, z = pkt
                mc.setBlock(x, y, z, block.SAND)
            sleep(3)
            mc.player.setPos(0, r - 1, 0)
            break


def main():
    mc.postToChat("LiczbaPi")  # wysłanie komunikatu do mc
    plac(-50, 0, -50, 100)
    liczbaPi(False)
    return 0

Zadaniem funkcji model() jest stworzenie przestrzeni dla obrysu sześcianu i jego szkieletu. Opcjonalnie, jeżeli przekażemy do funkcji parametr klatka równy True, ściany mogą zostać wypełnione szkłem. Walec wizualizujemy w pętli for rysując kilka okręgów blokami trawy.

W funkcji liczbaPi() najważniejszą zmianą jest dodanie trzeciej zmiennej. Wartości wszystkich trzech współrzędnych losowane są w takim samym zakresie, ponieważ za środek całego układu przyjmujemy początek układu współrzędnych. Ważna zmiana zachodzi w funkcji warunkowej: if abs(x)**2 + abs(z)**2 <= r**2:. Do sprawdzenia, czy punkt należy do koła wykorzystujemy zmienne x i z, uwzględniając fakt, że w MC Pi wyznaczają one położenie w poziomie.

Bloki należące do sześcianu rysujemy za pomocą obsydianu, te w walcu – za pomocą diamentów.

Na końcu funkcji dodajemy nieskończoną pętlę (while True:), której zadaniem jest sprawdzanie, na jakim bloku znajduje się gracz: if mc.getBlock(x, y - 1, z) == block.STONE.id:. Jeżeli stanie on na kamieniu, wszystkie bloki należące do walca zamieniamy w pętli for pkt in wKolo: w piasek, a gracza teleportujemy do środka sześcianu.